数列极限的定义是什么
1.是指无限趋近于一个固定的数值。
2.数学名词。在高等数学中，极限是一个重要的概念。
极限可分为数列极限和函数极限.
学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以为了要利用代数处理代表无限的量，于是精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。
就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在Δ的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能。这个概念是成功的。
数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。
函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。
设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，使得当
|x-xo|<δ时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在x0处的极限。
延伸阅读
数列极限证明全过程
数列极限定义证明步骤证明：对任意的ε>0，解不等式│1/√n│=1/√n<ε，得n>1/ε2，取N=[1/ε2]+1…
1证明步骤
证明：对任意的ε>0，解不等式
│1/√n│=1/√n<ε
得n>1/ε2，取N=[1/ε2]+1。
于是，对任意的ε>0，总存在自然数取N=[1/ε2]+1。
当n>N时，有│1/√n│<ε
故lim(n->∞)(1/√n)=0。
2数列极限
数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。
数列极限定义
定义设为数列{an}，a为定数。若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有
▏an-a▕<E则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作
若数列{an}没有极限，则称{an}不收敛，或称{an}发散。
等价定义任给ε>0，若在(a-ε,a+ε)之外数列{an}中的项至多只有有限个，则称数列{an}收敛于极限a。
当数列的极限是
有了实数集的基础就可以进入正题——极限。
先说明几个符号的意义
“?”——代表“任何”、“任意”。
“?”——代表“存在”。
为了“线性”书写形式的方便，将采用中括号“[]”表示某些“非线性”书写形式（即利用此将其改变成“线性形式”），如
lim[n→∞] X(n)
∑[i=1,n] X(i)
∫[a,b] f(x)dx
一）数列及其极限的定义
数列是函数的一种特殊形式，即其自变量只取自然数，一般表示为{X(n)}，其中n∈N。由于自然数n只可能取无穷大为其极限点，所以数列也只有n趋向于无穷时的极限。
设{X(n)}是一个数列，A是一个实常数。如果对于任意给定的ε>0，存在正整数N，对于任何n>N，成立|X(n) – A|<ε，则称数列{X(n)}收敛于A（或称A是数列{X(n)}的极限）。记为
lim[n→∞] X(n) = A
上面的文字描述可以采用下述符号表述法：
lim[n→∞] X(n) = A ? ?ε>0,?N,?n>N(|X(n)-A|<ε)
数列的这个极限定义形式通常被称为(ε-N)分析描述语言。此类分析描述语言是由柯西和魏尔斯特拉斯发明的。
二）魏尔斯特拉斯定理
单调有界数列必有极限。
证明：
不妨设数列{X(n)}单调增加且有上界。根据确界存在定理，由{X(n)}构成的数集必有上确界A。任意给定ε>0，A-ε必然不是数集{X(n)}的上界，即存在N使得A>X(N)>(A-ε)。由于数列{X(n)}是单调增加的，所以对于任何n>N，成立A>X(n)>(A-ε)，即|X(n)-A|<ε。同理可证数列{X(n)}单调减小且有下界的情况。证毕。
三）柯西-康托尔原理（闭区间套定理）
如果{[a(n),b(n)]}构成一个闭区间套，即[a(n),b(n)]?[a(n+1),b(n+1)]，且lim[n→∞] (b(n)-a(n)) = 0。则存在唯一实数c属于所有的闭区间[a(n),b(n)]，且c是数列{a(n)}和{b(n)}的极限。
证明：
由题设，显然数列{a(n)}和{b(n)}是单调有界数列，则其必有极限分别设为A和B。由于lim[n→∞] (b(n)-a(n)) = B – A = 0，即A = B（设其为c），则
lim[n→∞] a(n) = lim[n→∞] b(n) = c
由于a(n)≤c≤b(n)，可见c属于所有闭区间[a(n),b(n)]。证毕。
四）波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理
有界数列必有收敛子列。
证明：
设数列{X(n)}有界，于是存在a1和b1成立a1≤X(n)≤b1。等分闭区间[a1,b1]得两个闭区间[a1,(a1+b1)/2]和[(a1+b1)/2,b1]，其中至少有一个含数列{X(n)}中无穷多项，记为[a2,b2]。按此过程继续可得一个闭区间套{[an，bn]}，显然(bn-an) = (b1-a1)/2^(n-1)，即lim[n→∞] (bn-an) = 0。由闭区间套定理可知存在实数c属于所有闭区间[an,bn]，且lim[n→∞] an = lim[n→∞] bn = c。
现在构造数列{X(n)}的一个子列。任取数列{X(n)}中的一项X(n1)，显然此项必在闭区间[a1,b1]内。由于闭区间[a2,b2]内含有无穷多个数列{X(n)}的项，在其内选一个X(n2)且n2>n1。按此过程继续可得数列{X(n)}的一个子列{X(nk)}，其通项X(nk)必在闭区间[ak,bk]内，则有关系
ak≤X(nk)≤bk
由极限的夹逼性可得
lim[n→∞] = c
证毕。
五）柯西收敛原理
先定义基本数列：
如果数列{X(n)}具有如下特性
?ε>0,?N,?n>N∧?m>N(|X(n)-X(m)|<ε)
则称此数列为基本数列。
数列{X(n)}收敛的充分必要条件是它是个基本数列。
证明：
先证必要性。如果数列{X(n)}收敛于A，按收敛定义有
?ε>0,?N,?n>N∧?m>N(|X(n)-A|<ε/2∧|X(m)-A|<ε/2)
则有
|X(n)-X(m)|≤|X(n)-A|+|X(m)-A|<ε
即数列{X(n)}是个基本数列。
再证充分性。如果数列{X(n)}是个基本数列，对于选定的固定值ε，存在N，当m和n都大于N时成立
|X(n)-X(m)|<ε
现再固定m，显见X(n)有界，即数列{X(n)}是个有界数列。由波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理可知有界数列{X(n)}必有收敛子列{X(nk)}，设其收敛于A，即lim[k→∞] X(nk) = A。
因为{X(n)}是基本数列，故?ε>0,?N1,?n>N1∧?nk>N1(|X(n) – X(nk)|<ε/2)。又由于lim[k→∞] X(nk) = A，则?N2,?nk>N2(|X(nk)-A|<ε/2)。取N=max(N1,N2)，当?n>N∧?nk>N时有
|X(n)-A|≤|X(n)-X(nk)|+|X(nk)-A|<ε
即数列{X(n)}收敛（lim[n→∞] X(n) = A）。证毕。
六）实数系基本定理的等价性
前面分别给出了五个实数系基本定理以及它们的证明。从其证明的过程可以发现有下列推导关系
实数连续公理→确界存在定理→魏尔斯特拉斯定理→柯西-康托尔原理（闭区间套定理）→波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理→柯西收敛原理
此外，还存在如下的推导关系
柯西收敛原理→柯西-康托尔原理（闭区间套定理）→确界存在定理
由此可见，实数系的五个基本定理是完全等价的。
七）数列极限的性质和四则运算
下面简单罗列一下数列极限的一些性质和运算法则：
1）数列极限的唯一性
2）收敛数列的有界性
3）收敛数列的保序性
4）数列极限的夹逼性
5）数列极限的运算法则
a）lim[n→∞] (a X(n) + b Y(n)) = a lim[n→∞] X(n) + b lim[n→∞] Y(n)
b）lim[n→∞] (X(n) Y(n)) = lim[n→∞] X(n) lim[n→∞] Y(n)
c) 如果lim[n→∞] Y(n) ≠ 0，则lim[n→∞] (X(n)/Y(n)) = lim[n→∞] X(n) / lim[n→∞] Y(n)
